球友 - 王虹凭三维挂谷获菲尔兹奖，OpenAI三小时破解四维难题

2026年，王虹凭借对三维挂谷集猜想的证明，夺得了数学界最高荣誉——菲尔兹奖。这一跨越了百年的几何难题，经过她的巧妙研究，从二维成功延伸至三维，成为近十年来数学领域最重要的成就之一。而仅仅三个月后，OpenAI便在这一基础上取得了进一步的突破：它不仅攻克了更为复杂的三维挂谷极大函数猜想，还首次证明四维挂谷集的豪斯多夫维数恰好为4，从而将人类历来在3.059维的最佳纪录提升了一个维度，达至理论界限。然而，这只是OpenAI在数学领域挑战的冰山一角。这次，它刊出了722篇数学手稿，归纳为372项研究成果，涵盖的范畴远远超出了挂谷问题，还包括准黎曼假设、希尔伯特第十问题、以及与卡塔兰常数相关的多项经典难题。这一切均由一个未公开名字的内部模型所产生，每个问题平均耗时仅约3小时。OpenAI将这些手稿上传至GitHub，仅在开放的24小时内便获得了10,000个点赞。人文数学协会对此表示，数学家并未要求OpenAI进行这项工作，并指出这些手稿尚缺乏相应的验证，视其为一次“性能营销”的尝试。

挂谷问题的源起可以追溯到1917年，由日本数学家挂谷宗一提出。他设想将一根细针放入平面中，转动一周（亦即让针的方向遍历所有可能的方位），并询问针所扫过的区域的最小可能面积。直观上，我们可能认为针有其长度，转动一圈至少应形成一个圆盘。然而，得到的答案远超我们的直觉。早期数学家贝西科维奇证明，通过巧妙的转动策略，针所覆盖的面积可以被压缩到任意小的数字，甚至小于我们指定的任意正数。在此基础上，数学家们便设计出“面积为零”的集合，这些集合中却依旧包含了指向每个方向的线段，而这类集合便被称为“贝西科维奇集”或“挂谷集”。虽然“面积为零”似乎解决了问题，但这并不意味着集合的复杂性已被完全理解。无论是单根线条还是纠缠成团的线，它们在数学上均可拥有零面积，但在实际形态上却有本质上的差异。因此，数学家们引入了“维数”的概念，试图衡量这些集合的复杂结构。一条线一维，一张纸二维，而一个立体则是三维，但一些特别细碎的集合，其维数甚至可以是小数，例如2.5维。“豪斯多夫维数”成为这一领域最常用的测量工具，其方法是利用极小的球体来覆盖集合，并统计需要的球体数量。如球的半径减半，则所需数量翻倍，意味着这个集合是一维的；若增至四倍，则为二维；若是八倍，那便为三维；介于其间的情况则表示小数维。在二维平面上，早在1971年，数学家就证明任何包含所有方向线段的集合，其维数必须为2，即使其面积为零。那么，置于三维或四维空间又如何呢？数学家们对此的推测是：在n维空间中，只要一个集合内包含了指向各个方向的单位长度线段，其豪斯多夫维数亦应等于n，纵使其体积为零，这便是著名的“挂谷集猜想”。

到了2026年，王虹由于在傅里叶限制问题及三维挂谷问题上取得的重大进展而斩获菲尔兹奖，其核心成就是前述的三维挂谷集猜想。而OpenAI所解决的两项难题，正是对此的“升级版”。其中矗立的第一个挑战就是三维挂谷极大函数猜想。此处的“极大”意味着挑选最大值的过程。设想一片空域中存在浓淡不一的雾气，当用细吸管在不同地方吸取时，每个位置所获得的浓度有差异。将每个方向的所有吸取方式尝试一遍，并记录下浓度最高的值，即为该方向的“极大值”。如此类推，会产生一个“方向—最高值”的对应关系，数学家称之为“挂谷极大函数”。 球友

而第二个挑战则是关于四维豪斯多夫维数的猜想，意味着将前述的结论外延至四维空间。根据人类的历史记录，目前我们在四维的最好成就仅到2021年提出的3.059，换句话说，只能证明其至少是3.059维，而现在将其提升至4维，相當于整整升华了一个维度。从二维扩展到三维时，问题的难度几乎发生了质变，而将难题从三维转向四维，同样体现出质的改变。这是因为维数越高，相互穿插、堆叠的几何情形愈发复杂，数学家们必须面对的挑战也在激增。因此，若由数学家亲自完成这两个猜想，需耗费数年之久。然而，OpenAI的处理过程却显得相对“简洁明了”。其借助一款尚未公开的内部模型，仅通过一个提示词，让一名智能代理进行运算，每个结果的平均耗时仅为约3小时。评估过程中，模型被输入了大约4000个问题，经过筛选和归并，最终留下了当前的722篇手稿。